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210 Psychische Studien. LI. Jahrgang. 4. Heft. (April 1924.)

düngen keine Anschaulichkeit liefern, so daß nur die euklidische Geometrie
Anschaulichkeit besitzt. Nimmt man an, daß in einer Ebene
die euklidische, elliptische oder hyperbolische Geometrie gilt, so spricht
man von einer euklidischen, elliptischen oder hyperbolischen Ebene.
Entsprechendes gilt von dem dreidimensionalen Raum.

Man kann nun jede Geometrie so abstrakt aufbauen, daß nur noch
die Namen, wie Punkte, Gerade, Ebenen an die landläufige Geometrie
erinnern. Man kann z. B. Kugeln und Kreise als Punkte definieren.
Man kann die Geometrie sogar rein zahlenmäßig aufbauen. Einen
Punkt definiert man als ein Zahlentripel, eine Ebene als die Gesamtheit
aller Punkte (also Zahlentripel), die einer linearen Gleichung
mit drei Unbekannten Genüge leisten, eine Gerade als die Gesamtheit
der zwei Ebenen gemeinsamen Punkte. Eine Gerade ist also
die Gesamtheit aller Zahlentripel, die zwei Gleichungen ersten Grades
erfüllen. Da der Punkt als Zahlentripel aufgefaßt ist, kommen wir
zu einer dreidimensionalen Geometrie, bei geeignetem Vorgehen zur
Geometrie des gewöhnlichen (euklidischen) Raumes. Faßt man den
Punkt als die Gesamtheit von in bestimmter Reihenfolge gewählten
4, 5, 6 . . . Zahlen auf, so kommt man zu 4, 5, 6 . . . dimensionalen
Geometrien, die dann euklidisch oder nichteuklidisch sein können.
Es bietet in der Mathematik prinzipiell keine Schwierigkeiten, mit
n-dimensionalen Räumen zu arbeiten. Man kann z. B. eine Ebene,
die als Punktgebilde zweidimensional, also einen zweidimensionalen
Raum darstellt, auch als fünfdimensionalen Raum aulfassen, wenn
man als Element nicht den Punkt, sondern einen allgemeinen Kegelschnitt
ansieht. Die Ebene enthält eben fünffach unendlich viele
Kegelschnitte, d. h. sie ist eine fünffache Mannigfaltigkeit von Kegelschnitten
. Der Raum erscheint also schließlich in der Mathematik
als Mannigfaltigkeit mit besonderen Bedingungen. Ein n-dimensio-
naler Raum ist eine n-fache oder n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Es
gibt auch "in der Mathematik nicht einen Raum, sondern unendlich
viele Räume. Die mathematischen Dimensionen haben — zunächst
wenigstens — mit einer Weltanschauung nichts zu tun.

Aus unseren Ausführungen ergibt sich zur Genüge, daß die raathematischen
Räume mit dem Wahrnehmungsraum nichts zu tun haben.
Letzterer ist anschaulich, unmittelbar erlebt und einer Definition unzugänglich
. Ein mathematischer Raum ist durch die Axiomengruppe
definiert. Hieraus wird dann das ganze stolze Gebäude rein logisch
konstruiert. Daraus ergibt sich schon, daß Mathematiker nie und
nimmer im Wahrnehmungsraum etwa die vierte Dimension suchen
werden. Der mathematische und psychologische Raum (Wahrneh-
mungsraum) sind eben ganz verschiedene Dinge, die mit demselben
Namen belegt werden, was genetisch durchaus verständlich ist.

Eine Schwierigkeit, die der reinen Mathematik aber nichts angeht,
ist die Frage, welche mathematischen Ergebnisse für den Wahr-
nehmungs- oder psychologischen Raum gelten und kraft welcher
Ueberlegungen. Im gewöhnlichen Leben, im Unterricht, in der Tech-